TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN DÃY SỐ

Bài 1. (Chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh 2015)
Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi:
$$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=1\\  x_{n+1}=x_{n}^{2}+3x_{n}+1

\end{matrix}\right.$$
Xét dãy $(y_{n})$ được xác định bởi $$y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}+2}$$Tìm $lim \, y_{n}$

Bài 2. Cho dãy số thực $\begin{Bmatrix}
a_{n}
\end{Bmatrix}$ thỏa $$\left\{\begin{matrix}
a_{1}\in (1;2)\\ a_{n+1}=a_{n}+\frac{n}{a_{n}}

\end{matrix}\right.$$Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một cặp $(a_{i};a_{j})$ với $i\neq j$ sao cho $a_{i}+a_{j}$ là số nguyên.

Bài 3. (VMO 2011)
Cho dãy số nguỵên $(a_{n})$ thỏa $$\left\{\begin{matrix}
a_{0}=1;\, a_{1}=-1\\ a_{n+2}=6a_{n+1}+5a_{n},\, \forall n\in N

\end{matrix}\right.$$Chứng minh rằng $a_{2012}-2010$ chia hết cho $2011$.

Bài 4. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2014)
Cho dãy số $a_{n}$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix}
a_{1}=2,a_{2}=1\\a_{n+2}=\frac{a_{n}.a_{n+1}}{2a_{n}+a_{n+1}} ,\, \forall n\in N^{*}

\end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng dãy số $(a_{n})$ có giới hạn hữu hạn khi $n\rightarrow +\infty $. Hãy tìm $$\lim_{n\rightarrow +\infty }a_{n}$$
Bài 5. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2015)
Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} u_1=1\\ u_{n+1}=3u_n-\sqrt{u_n^2+1},n=1,2,3... \end{matrix}\right.$$
Tính $$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim} \frac{2u_{n+1}^2+3u_n^2}{u_{n+1}^2+2u_{n-1}}.$$
Bài 6. (Chọn đội tuyển VMO Vũng Tàu 2015)
Cho dãy số $(x_{n})$  xác định bởi $$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=3\\ x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{3}-2x_{n}+1}{2\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}

\end{matrix}\right.$$ Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $$y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{2}}$$ Tính giới hạn của dãy số $(y_{n})$.

Bài 7. (Chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2015)
Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $$x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\frac{2014+x_n}{2016-x_n}\, \forall n=1,2,..$$
  a) Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.

  b) Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ ta đặt $$y_n=\frac{1}{2013n+2015} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k-2014}$$ Tính $\lim y_n$

Bài 8. (Chọn đội tuyển VMO Cần Thơ 2015)

Cho dãy số $\left ( x_{n} \right )$ với $n\in N^{*}$ được xác định bởi $$\left\{\begin{matrix}
x_{0}>0\\ x_{n}=\frac{9}{10}u_{n-1}+\frac{1007}{5x_{n-1}^{9}},\;\forall n\geq 1

\end{matrix}\right.$$
Chứng minh dãy số $\left ( x_{n} \right )$ có giới hạn và tìm giới hạn này.

Bài 9. Cho hai dãy $(x_{n}),\,(y_{n}):$$$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=-1,y_{1}=1\\x_{n+1}=-3x_{n}^{2}-2x_{n}y_{n}+8y_{n}^{2}
\\y_{n+1}=2x_{n}^{2}+3x_{n}y_{n}-2y_{n}^{2}

\end{matrix}\right.\;\;\forall n\geq 1$$
Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $x_{p}+y_{p}$ không chia hết cho $p$