Bài dãy số chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Hà Tĩnh 2015)
Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $$x_1=\frac{1}{2}; x_{n+1}=\frac{2014+x_n}{2016-x_n}\, \forall n=1,2,..$$
  a) Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn và tính giới hạn đó.

  b) Với mỗi số tự nhiên $n \ge 1,$ ta đặt $$y_n=\frac{1}{2013n+2015} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_k-2014}$$ Tính $\lim y_n$

Lời giải.
a)  Trước hết chứng minh $x_{n}<1,\,\forall n=1,2,...$

Với $n=1$ ta được $x_{1}<1$

Với $n=2$ ta được $x_{2}<1$

Giả sử $x_{n}<1$. Ta cần chứng minh $x_{n+1}<1$

Thật vậy $$x_{n+1}<1\Leftrightarrow \frac{2014+x_{n}}{2016-x_{n}}-1<0\Leftrightarrow \frac{2(x_{n}-1)}{2016-x_{n}}<0$$ Điều này đúng do $x_{n}<1$

Ta sẽ chứng minh dãy $(x_{n})$ là dãy tăng.

Với $n=1$ ta được $x_{2}=\frac{4029}{4031}>\frac{1}{2}=x_{1}$

Giả sử $x_{n}>x_{n-1}$. Ta cần chứng minh $x_{n+1}>x_{n}$

Thật vậy $$x_{n+1}>x_{n}\Leftrightarrow \frac{2014+x_{n}}{2016-x_{n}}-x_{n}> 0\Leftrightarrow \frac{(x_{n}-1)(x_{n}-2014)}{2016-x_{n}}> 0$$ Vậy dãy $(x_{n})$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $1$ nên $(x_{n})$ hôi tụ. Đặt $lim\,x_{n}=L\,(L<1)$

Chuyển qua giới hạn ta được $$L=\frac{2014+L}{2016-L}\Rightarrow L=1$$

Mở rộng. Tìm công thức tồng quát của $x_{n}$
Ta có $$x_{n+1}-1=\frac{2014+x_{n}}{2016-x_{n}}-1=\frac{2(x_{n}-1)}{2016-x_{n}}\;(1)$$$$x_{n+1}-2014=\frac{2014+x_{n}}{2016-x_{n}}-2014=\frac{2015(x_{n}-2014)}{2016-x_{n}}\;(2)$$ Giả sử $\exists i:x_{i}=2014$. Khi đó theo $(2)$ ta suy ra $x_{1}=2014$ (vô lý) nên $x_{n}\neq 2014,\,\forall n $

Khi đó từ $(1)$ và $(2)$ ta được $$\frac{x_{n+1}-1}{x_{n+1}-2014}=\frac{2}{2015}.\frac{x_{n}-1}{x_{n}-2014}=...=\left ( \frac{2}{2015} \right )^{n-1}.\frac{x_{1}-1}{x_{1}-2014}$$
$$\Rightarrow \frac{x_{n}-1}{x_{n}-2014}=\left ( \frac{2}{2015} \right )^{n-2}.\frac{1}{4027}\Rightarrow x_{n}=\frac{2014.2^{n-2}-4027.2015^{n-2}}{2^{n-2}-4027.2015^{n-2}}$$

b) Ta có $$x_{n+1}-2014=\frac{2014+x_{n}}{2016-x_{n}}-2014=\frac{2015(x_{n}-2014)}{2016-x_{n}}$$
$$x_{n+1}-x_{n}=\frac{(x_{n}-1)(x_{n}-2014)}{2016-x_{n}}$$
Suy ra $$\frac{2015(x_{n+1}-x_{n})}{(x_{n+1}-2014)(x_{n}-2014)}=\frac{(x_{n}-1)}{x_{n}-2014}\Rightarrow 2015\left (  \frac{1}{x_{n}-2014}-\frac{1}{x_{n+1}-2014}\right )= 1+\frac{2013}{x_{n}-2014} $$
$$\Rightarrow \frac{1}{x_{n}-2014} =\frac{2015}{2013}\left (  \frac{1}{x_{n}-2014}-\frac{1}{x_{n+1}-2014}\right )-\frac{1}{2013}$$
$$\Rightarrow y_{n}=\begin{bmatrix}
\frac{2015}{2013}\left ( \frac{-2}{4027} -\frac{1}{x_{n+1}-2014}\right )-\frac{n}{2013}
\end{bmatrix}.\frac{1}{2013n+2015}\Rightarrow lim\,y_{n}=\frac{-1}{2013^{2}}$$
Vậy $lim\,y_{n}=-\frac{-1}{2013^{2}}$