Bài bất đẳng thức chọn đội tuyển VMO Năng khiếu 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Phổ thông Năng khiếu 2015)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều $$\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )=1+4abc$$
Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức $$a+b+c\leq 1+abc$$
Lời giải.
Theo giả thiết ta có $$\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )=1+4abc\Leftrightarrow a+b+c+ab+bc+ca=3abc$$
Đặt $x=\frac{1}{a},\,y=\frac{1}{b},\,z=\frac{1}{c}\Rightarrow x+y+z+xy +yz+zx=3$. Ta cần chứng minh $$xy+yx+zx\leq 1+xyz$$
Ta nhận xét rằng trong ba số $x,y,z$ tồn tại nhiều nhất $1$ số lớn hơn $1$. Vì nếu tồn tại hai số

$x,y$ lớn hơn $1$ thì $x+y+xy>3$ (vô lý)

Trường hợp 1. Cả ba số $x,y,z$ đều nhỏ hơn $1$. Theo nguyên lý Đirichlet tồn tại một trong ba]

số $x+yz,y+zx,z+xy$ nhỏ hơn $1$. Giả sử $x+yz<1$

Lại có $$x(y-1)(z-1)> 0\Rightarrow xyz+x>xy+xz\Rightarrow xyz+1>xy+yz+zx$$
Trường hợp 2. Tồn tại $x>1$ suy ra $y,z<1$.

    $*$ Nếu $x+y+z>2\Rightarrow xy+yz+zx<1\Rightarrow xy+yz+zx<1+xyz$

    $*$ Nếu $x+y+z<2$ thì $xyz+1>xyz-(x+y+z)-1$

Lại có $$(x-1)(y-1)(z-1)>0\Rightarrow xyz-(x+y+z)-1\geq xy+yz+zx$$$$\Rightarrow xyz+1\geq xy+yz+zx$$
Do đó $xy+yx+zx\leq 1+xyz$