Nguyên lý Đirichlet trong bất đẳng thức

Bài toán 1.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca) $$
Lời giải.
Theo nguyên lý Đirichlet, trong ba số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu.

Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0$. Khi đó $$c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ab+2bc$$Lại có $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+1\geq 2ab+2c$$Suy ra $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+1+2abc+2c\geq 2(ab+bc+ca)+2c$$$$\Rightarrow  a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca) $$

Bài toán 2.
Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+3\geq (a+1)(b+1)(c+1)$$
Lời giải.
Theo nguyên lý Đirichlet, trong ba số $a-1,b-1,c-1$ tồn tại ít nhất hai số cùng dấu. 

Giả sử $(a-1)(b-1)\geq 0$. Khi đó $$c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow 2abc+2c\geq 2ab+2bc$$Ta cần chứng minh $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\geq a+b+2c+ab$$Thật vậy $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2\geq a+b+2c+ab\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left ( a-b \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( a-1 \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( b-1 \right )^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$$
Vậy ta có bất đẳng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+3\geq (a+1)(b+1)(c+1)$


Bài toán 3.
Cho $a,b,c>0$ và $x=a+\frac{1}{b};\,y=b+\frac{1}{c},\,z=c+\frac{1}{a}$. Chứng minh rằng $$xy+yz+zx\geq 2(x+y+z)$$
Lời giải.
Theo nguyên lý Đirichlet, tồn tại hai số $\leq2$ hoặc $\geq2$. Giả sử là $x,y$. Khi đó $$(x-2)(y-2)\geq0\Rightarrow xy+4\geq 2x+2y$$
Ta chỉ cần chứng minh $$yz+zx\geq 2z+4$$Thật vậy $$yz+zx\geq 2z+4\Leftrightarrow z(x+y-2)\geq 4\Leftrightarrow \left ( c+\frac{1}{a} \right )\left ( a+\frac{1}{c}+b+\frac{1}{b}-2 \right )\geq 4$$Ta có $$\left ( c+\frac{1}{a} \right )\left ( a+\frac{1}{c}+b+\frac{1}{b}-2 \right )\geq \left ( c+\frac{1}{a} \right )\left ( a+\frac{1}{c} \right )\geq 4$$
Do đó bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.

Bài toán 4. (Chọn đội tuyển trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận)
Cho $x,y,z$ dương. Chứng minh rằng $$xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq 3(x+y+z)$$
Lời giải.
Theo bài toán $1$ ta được $$xyz\geq \frac{2(xy+yz+zx)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)}{2}$$$$xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq \frac{2(xy+yz+zx)-(x^{2}+y^{2}+z^{2}+1)}{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5$$$$\Rightarrow xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+5\geq \frac{(x+y+z)^{2}+9}{2}\geq 3(x+y+z)$$