Bài tổ hợp chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đồng Nai 2015)
Cho $n \geq 3$ là một số nguyên dương. Chứng minh với $n$ điểm phân biệt nằm trong mặt

phẳng, sao cho trong đó không có $3$ điểm nào thẳng hàng thì số tam giác có đỉnh được lấy

trong $n$ điểm đã cho và có diện tích bằng $1$ không lớn hơn $\frac{2}{3}(n^2-n)$.

Lời giải.

Xét hai điểm $A$ và $B$ trong $n$ điểm. Ta chứng minh rằng từ hai điểm này có thể tạo được 

nhiều nhất $4$ tam giác có diện tích bằng $1$.

Giả sử từ hai điểm $A,B$ có thể tạo được $5$ tam giác có diện tích bằng $1$ $(*)$

Gọi $\triangle ABC$ là tam giác có diện tích bằng $1$ và H là chân đường cao kẻ từ $C$ xuống

Khi đó ta có $S_{ABC}=\frac{1}{2}.AB.CH\Rightarrow CH=\frac{2}{AB}=k=const$

Do đó điểm $C$ thuộc $1$ trong $2$ đường thẳng song song cách đều $AB$ một khoảng $k=const$

Theo nguyên lý Đirichlet, trong $5$ điểm thỏa $(*)$ thì tồn tại một đường thẳng chứa ít nhất $3$ điểm

Điều này vô lý vì không có $3$ điểm nào thẳng hàng.

Vậy từ hai điểm bất kỳ có tạo được nhiều nhất $4$ tam giác có diện tích bằng $1$

Mà số cách chọn hai điểm trong $n$ điểm là $C_{n}^{2}$ và tam giác $ABC$ có diện tích bằng $1$ được 

đếm $3$ lần. Vì vậy số tam giác có diện tích bằng $1$ không lớn hơn $$\frac{4.C_{n}^{2}}{3}=\frac{2}{3}\left ( n^{2}-n \right )$$