Bài hệ phương trình chọn đội tuyển VMO Vũng Tàu 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Vũng Tàu 2015)
Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}
2\sqrt{y+1}-\sqrt{2(x+y)}=x-y-2\;(1)\\ 3\sqrt{3y-2x+6}-\sqrt{y^{2}-3}=x+1\;(2)

\end{matrix}\right.$$
Lời giải.
Từ $(1)$ ta được $$2\sqrt{y+1}-\sqrt{2(x+y)}=x-y-2\Leftrightarrow \sqrt{4(y+1)}+2(y+1)=\sqrt{2(x+y)}+(x+y)$$ Xét hàm số $f(t)=t+\sqrt{2t},\,\forall t\in R^{+}\Rightarrow f'(t)=1+\frac{1}{\sqrt{2t}}> 0$

Do đó $f(t)$ là hàm đồng biến trên $R^{+}$. Ta lại có $$ f\left ( 2(y+1) \right )=f\left ( x+y \right )\Rightarrow  2(y+1)=x+y\Rightarrow x=y+2$$
Thế vào $(2)$ ta được phương trình theo $y$ là $$3\sqrt{y+2}-\sqrt{y^{2}-3}=y+3\Leftrightarrow 3\sqrt{y+2}-(y+4)=\sqrt{y^{2}-3}-1$$$$\Leftrightarrow \frac{-(y+1)(y-2)}{3\sqrt{y+2}+y+4}=\frac{(y-2)(y+2)}{\sqrt{y^{2}-3}+1}$$
Trường hợp 1. $y=2\Rightarrow x=4$ (thỏa đề bài)

Trường hợp 2. $$\frac{-(y+1)}{3\sqrt{y+2}+y+4}=\frac{(y+2)}{\sqrt{y^{2}-3}+1} \;(*)$$
Kết hợp điều kiện $y\geq -1\Rightarrow VT(*)< 0,\, VP(*)>0$. Do đó phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Vậy nghiệm của hệ là $(x,y)=(2,2)$