Bài dãy số chọn đội tuyển VMO Vũng Tàu 2015

Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Vũng Tàu 2015)
Cho dãy số $(x_{n})$  xác định bởi $$\left\{\begin{matrix}
x_{1}=3\\ x_{n+1}=\frac{2x_{n}^{3}-2x_{n}+1}{2\left ( x_{n}-1 \right )^{2}}

\end{matrix}\right.$$ Với mỗi số nguyên dương $n$, ta đặt $$y_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^{2}}$$ Tính giới hạn của dãy số $(y_{n})$.

Lời giải.
Ta có $$x_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{2x_{n}^{3}-2x_{n}+1}{2(x_{n}-1)^{2}}-x_{n}=\frac{x_{n}^{2}(2x_{n}-1)}{2(x_{n}-1)^{2}}$$
$$\Rightarrow 2x_{n+1}-1=\frac{x_{n}^{2}(2x_{n}-1)}{(x_{n}-1)^{2}}\Rightarrow \frac{1}{2x_{n+1}-1}=\frac{(x_{n}-1)^{2}}{x_{n}^{2}(2x_{n}-1)}=\frac{1}{2x_{n}-1}-\frac{1}{x_{n}^{2}}$$
$$\Rightarrow \frac{1}{x_{n}^{2}}=\frac{1}{2x_{n}-1}-\frac{1}{2x_{n+1}-1}\Rightarrow y_{n}=\frac{1}{5}-\frac{1}{2x_{n+1}-1}$$
Lại có $$x_{n+1}-x_{n}=\frac{2x_{n}^{3}-2x_{n}+1-2x_{n}(x_{n}-1)^{2}}{2(x_{n}-1)^{2}}=\frac{(2x_{n}-1)^{2}}{2(x_{n}-1)^{2}}\geq 0$$ Vậy dãy $(x_{n})$ là dãy tăng.

Giả sử dãy $(x_{n})$ bị chặn trên thì dãy $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn. Đặt  $lim\,x_{n}=L$, chuyển

qua giới hạn ta được $$L=\frac{2L^{3}-2L+1}{2(L-1)^{2}}\Rightarrow (2L-1)^{2}=0\Rightarrow L=\frac{1}{2}$$
Điều này vô lý vì $..>x_{n}>x_{n-1}>...x_{1}>\frac{1}{2}\Rightarrow L>\frac{1}{2}$

Vậy $lim\,x_{n}=+\infty $. Do đó $$lim\,y_{n}=\frac{1}{5}$$