Bài bất đẳng thức kiểm tra Trường hè Toán học 2014

Bài toán. (Trường hè Toán học 2014)

Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$ thì

luôn có bất đẳng thức $$k(a^4+b^4+c^4-3)\geq a^3+b^3+c^3+3abc-6$$
Lời giải.
Cho $a=b=\frac{1}{2},c=2$ ta được $$\frac{105k}{8}\geq \frac{15}{4}\Rightarrow k\geq \frac{2}{7}$$
Ta cần chứng minh $$\frac{2}{7}\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4}-3 \right )\geq a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc-6$$
Đặt $f\left ( a,b,c \right )=\frac{2}{7}\left ( a^{4}+b^{4}+c^{4}-3 \right )- \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc-6 \right )$

Do vai trò $a,b,c$ như nhau nên giả sử $c=max\begin{Bmatrix}
a,b,c
\end{Bmatrix}\Rightarrow c\geq 1\Rightarrow a+b\leq 2$

Ta có $$f\left ( a,b,c \right )-f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )=\frac{2}{7}\begin{bmatrix}
a^{4}+b^{4}-2\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{4}
\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}
a^{3}+b^{3}-2\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{3}-3c\left ( ab-\left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} \right )
\end{bmatrix}$$
$$\Rightarrow f\left ( a,b,c \right )-f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )=\frac{2}{7}\left (a-b \right )^{2}\begin{bmatrix}
7a^{2}+10ab+7b^{2}-21\left ( a+b \right )+21c
\end{bmatrix}$$
$$\Rightarrow f\left ( a,b,c \right )-f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )=\frac{2}{7}\left (a-b \right )^{2}\begin{bmatrix}
7a^{2}+10ab+7b^{2}-42\left ( a+b \right )+63
\end{bmatrix}$$
Lại có: $$7a^{2}+10ab+7b^{2}-42\left ( a+b \right )+63\geq 6\left ( a+b \right )^{2}-42\left ( a+b \right )+63=3\begin{bmatrix}
2\left ( a+b-2 \right )\left ( a+b-5 \right )+1
\end{bmatrix}> 0 $$
Do đó $f\left ( a,b,c \right )\geq f\left ( \frac{a+b}{2},\frac{a+b}{2},c \right )$

Ta cần chứng minh $f\left ( t,t,3-2t \right )\geq 0$ với $t=\frac{a+b}{2}$

Thật vậy $$\frac{2}{7}\begin{bmatrix}
2t^{4}+\left ( 3-2t \right )^{4}-3
\end{bmatrix}\geq 2t^{3}+\left ( 3-2t \right )^{3}+t^{2}\left ( 3-2t \right )-6\Leftrightarrow \left ( t-1 \right )^{2}\left ( 2t-1 \right )^{2}\geq 0$$
Điều này luôn đúng.

Vậy $k_{min}=\frac{2}{7}$