Bài toán. (Diễn đàn toán học)
Tìm số $k$ nhỏ nhất sao cho với hai số $a,b\in R$ luôn thỏa $$a+b+ab\leq k\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )$$
Lời giải.
Cho $a=b=1$ ta được $$3\leq 9k\Rightarrow k\geq \frac{1}{3}$$
Ta cần chứng minh $$a+b+ab\leq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )$$
Thật vậy $$a+b+ab\leq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\Leftrightarrow a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1\geq 3a+3b+3ab$$$$\Leftrightarrow \left ( ab-1 \right )^{2}+\frac{1}{2}\left ( a-b \right )^{2}+\frac{3}{2}\left ( a-1 \right )^{2}+\frac{3}{2}\left ( b-1 \right )^{2}\geq 0$$
Điều này luôn đúng.

Vậy $k_{min}=\frac{1}{3}$