Bài toán.
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$8\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+9\geq 10\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\;(1)$$
Lời giải.
Đặt $x=ab+bc+ca$. Khi đó $$(1)\Leftrightarrow \frac{8x}{abc}+9\geq 10(9-2x)\Leftrightarrow abc\leq \frac{8x}{81-20x}$$
$$\Leftrightarrow 8abc-4(ab+bc+ca)+2(a+b+c)-1\leq \frac{8x}{81-20x}-4x+5$$
$$\Leftrightarrow (2a-1)(2b-1)(2c-1)\leq \frac{5(4x-9)^{2}}{81-20x}$$
Không mất tính tổng quát, giả sử $a=max\begin{Bmatrix}
a,b,c
\end{Bmatrix}\Rightarrow a\geq 1\Rightarrow 2a-1>0$

* Nếu $(2b-1)(2c-1)<0$ thì bất đẳng thức được chứng minh.

* Nếu $(2b-1)(2c-1)\geq 0$. Ta xét hai trường hợp sau:

 Trường hợp 1. Nếu $2b-1>0$ và $2c-1>0$.

Áp dụng bất đẳng thức $\left ( \sum xy \right )^{2}\geq 3xyz\left ( \sum x \right )$ ta được $$(2a-1)(2b-1)(2c-1)\leq \frac{[\sum (2a-1)(2b-1)]^{2}}{3.\sum a}=\frac{(4x-9)^{2}}{9}$$Ta chỉ cần chứng minh $$\frac{(4x-9)^{2}}{9}\leq \frac{5(4x-9)^{2}}{81-20x}$$
Thật vậy: $$\frac{(4x-9)^{2}}{9}\leq \frac{5(4x-9)^{2}}{81-20x}\Leftrightarrow 81-20x\leq 45\Leftrightarrow x\geq \frac{5}{4}$$
Điều này đúng do $\sum (2a-1)(2b-1)\geq 0\Rightarrow 4x-9\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{9}{4}$

 Trường hợp 2. Nếu $2b-1\leq 0$ và $2c-1\leq 0$.

Đặt $f(a,b,c)=8\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+9- 10\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right)$. Khi đó $$f(a,b,c)-f\left ( a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right )=8\left ( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{4}{b+c} \right )- 10\left ( b^{2}+c^{2}-2\left ( \frac{b+c}{2} \right )^{2} \right)$$$$\Rightarrow f(a,b,c)-f\left ( a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right )=(b-c)^{2}\begin{bmatrix}
\frac{8}{bc(b+c)}-5
\end{bmatrix}\geq 0$$
Ta chỉ cần chứng minh $$f\left ( a,\frac{b+c}{2},\frac{b+c}{2} \right )\geq 0\Leftrightarrow f(3-2t,t,t)\geq 0\;(0<t<\frac{3}{2})$$Thật vậy $$8\left ( \frac{1}{3-2t}+\frac{2}{t}\right )+9\geq 10[(3-2t)^{2}+2t^{2}]\Leftrightarrow (2t-1)^{2}(30t^{2}-75t+48)\geq 0$$
Điều này luôn đúng.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.


Một bài toán khác được suy ra từ bài trên.

Bài toán. (Romania 2007)
Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$$