Bài số học chọn đội tuyển USA Mathematical Olympiad

Bài toán. (USAMO)
Tìm số nguyên dương $n$ để  $n^{7}+7$ là số chính phương.

Lời giải.
Đặt $n^{7}+7=x^{2}\,\left ( x\in N \right )$

Ta có $$n^{7}+7=x^{2}\Leftrightarrow n^{7}+2^{7}=x^{2}+11^{2}$$$$\Leftrightarrow \left ( n+2 \right )\left (n^{6}-2n^{5}+4n^{4}-8n^{3}+16n^{2}-32n+64  \right )=x^{2}+11^{2}$$
Lại có:   $x^{2}\equiv 0,1\left ( mod\;4 \right )\Rightarrow x^{2}+1\equiv 1,2\left ( mod\;4 \right )\Rightarrow n^{7}+2^{7}\equiv 1,2\left ( mod\;4 \right )$$$\Rightarrow n^{7}\equiv 1,2\left ( mod\;4 \right )\Rightarrow n\equiv 1\left ( mod\;4 \right )\Rightarrow n+2\equiv 3\left ( mod\;4 \right )\;(*)$$
Gọi  $p$ là ước nguyên tố có dạng  $4k+3$ của $n+2$ (do $n+2\equiv 3\left ( mod\;4 \right )$ nên tồn tại p)

Theo bổ đề $1$ suy ra $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|11,x\Rightarrow p=11\Rightarrow x=11x_{1},\;(x_{1}\in Z^{+})$

Ta có $n\equiv -2(mod\,11)\Rightarrow n^{6}-2n^{5}+4n^{4}-8n^{3}+16n^{2}-32n+64\equiv 8(mod\,11)$

Suy ra $\left.\begin{matrix}
11^{2}
\end{matrix}\right|n+2\Rightarrow n=11^{2}.m-2$. Dẫn đến $$m\left ( n^{6}-2n^{5}+4n^{4}-8n^{3}+16n^{2}-32n+64 \right )=x_{1}^{2}+1$$Nếu $m$ có dạng $4i+3$ thì tồn tại nguyên tố $h\equiv 3(mod\,4)$. Theo bổ đề $1$ suy ra

                                             $\left.\begin{matrix}
p
\end{matrix}\right|1\Rightarrow p=1$ (điều này vô lý)

Do đó $m\equiv 0,1,2(mod\,4)\Rightarrow n+2\equiv 11^{2}.m\equiv 0,1,2(mod\,4)$ (điều này vô lý do $(*)$)

Vậy không tồn tại $n$ thỏa mãn đề bài.