Bài toán.
Tìm tất cả $f:(0;+\infty )\rightarrow (0;+\infty )$ thỏa $$f\left ( \frac{f(x)}{f(y)} \right )=\frac{1}{y}.f\left ( f(x) \right ),\;\forall x,y\in R^{+}\;\;(1)$$ với $f$ đơn điệu nghiệm ngặt trên $(0;+\infty )$

Lời giải.
Trong $(1)$ thay  $x$ và $y$ bởi $1$ ta được $$f(1)=f\left ( f(1) \right )\Rightarrow f(1)=1$$
Trong $(1)$ thay $y$ bởi $x$ ta được $$f(1)=\frac{f\left ( f(x) \right )}{x}\Rightarrow f\left ( f(x) \right )=x\;(2)$$
Trong $(1)$ thay $x$ bởi $1$ và $y$ bởi $x$ ta được $$f\left ( \frac{1}{f(x)} \right )=\frac{1}{x}\;(3)$$
* Khả năng 1. Nếu $f$ là hàm tăng. Ta xét hai trường hợp sau:

   Trường hợp 1. Nếu $\exists x_{0}:f(x_{0})> x_{0}$ thì $f\left ( f(x_{0}) \right )> f(x_{0})>x_{0}$ (điều này vô lý do $(2)$)

  Trường hợp 2. Nếu $\exists x_{0}:f(x_{0})< x_{0}$ thì $f\left ( f(x_{0}) \right )< f(x_{0})<x_{0}$ (điều này vô lý do $(2)$)

Dẫn đến $f(x)=x,\;\forall x\in R^{+}$. Thử lại thấy đúng.

* Khả năng 2. Nếu $f$ là hàm số giảm. Xét hai trường hợp sau:

  Trường hợp 1. Nếu $\exists x_{0}:f(x_{0})> \frac{1}{x_{0}}$ thì $$\frac{1}{f(x_{0})}<x_{0} \Rightarrow f\left ( \frac{1}{f(x_{0})} \right )>f(x_{0})>x_{0}$$
  Trường hợp 2. Nếu $\exists x_{0}:f(x_{0})< \frac{1}{x_{0}}$ thì $$\frac{1}{f(x_{0})}>x_{0} \Rightarrow f\left ( \frac{1}{f(x_{0})} \right )<f(x_{0})<x_{0}$$ Cả hai trường hợp điều này vô lý do $(3)$

Do đó $f(x)=\frac{1}{x},\;\forall x\in R^{+}$. Thử lại thấy đúng.

Vậy $f(x)=x$ hoặc $f(x)=\frac{1}{x}$