Thứ Bảy, 25 tháng 10, 2014

Bài hệ phương trình THTT số 447

Bài toán. (THTT số 447)
Tìm các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\;(1)\\
xyz\left ( x+y+z \right )\left ( x+1 \right )\left (y+1  \right )\left ( z+1 \right )=1296\;(2)
\end{matrix}\right.$$
Lời giải.
Ta có $$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1\Rightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}=1-\frac{1}{z+1}=\frac{z}{z+1}$$$$\Rightarrow \frac{z}{z+1}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(y+1)}}$$Tương tự ta có $$\frac{x}{x+1}\geq \frac{2}{\sqrt{(y+1)(z+1)}},\;\frac{y}{y+1}\geq \frac{2}{\sqrt{(x+1)(z+1)}}$$ Suy ra $$\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(y+1)}\geq \frac{8}{(x+1)(y+1)(z+1)}\Rightarrow xyz\geq 8$$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $$1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{9}{x+y+z+3}\Rightarrow x+y+z\geq 6$$
Theo bất đẳng thức AM-GM ta được $$1=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}}\Rightarrow \geq 27$$Do đó $$xyz\left ( x+y+z \right )\left ( x+1 \right )\left (y+1  \right )\left ( z+1 \right )\geq 8.6.27=1296$$Kết hợp với $(2)$ nên đẳng thức xảy ra khi $$\left\{\begin{matrix}
xyz=8\\ x=y=z

\end{matrix}\right.\Rightarrow x=y=z=2$$ Vậy $(x,y,z)=(2,2,2)$ là nghiệm của hệ.

Không có nhận xét nào:

Đăng nhận xét