Bài toán.
Xét $n\in N,n\geq 2$. Ta tô tất cả các số tự nhiên bởi $2$ màu xanh hoặc đỏ thỏa mãn $2$ điều kiện sau:

   i) Mỗi số được tô bởi một màu, mỗi màu được tô vô hạn số

   ii) Tổng $n$ số cùng màu đôi một khác nhau là một số được tô cùng màu.

Hỏi có thể thực hiện được cách tô màu như trên không nếu:

  1) $n=2015$

  2) $n=2016$

Lời giải.
1) Ta tô màu các số tự nhiên như sau:

 - Các số tự nhiên lẻ được tô bởi màu xanh.

 - Các số tự nhiên chẵn được tô màu đỏ.

Dễ thấy cách tô màu trên thỏa mãn điều kiện bài toán.

2) Giả sử tồn tại cách tô màu thỏa yêu cầu đề bài.

Ta sẽ chứng minh tồn tại vô số cặp $a$ đỏ, $a+1$ xanh  và $b$ xanh, $b+1$ đỏ.

Trước hết chứng minh tồn tại cặp $a$ đỏ, $a+1$ xanh. Giả sử không tồn tại cặp số nào thỏa.

Do màu đỏ được tô vô hạn nên tồn tại số $k$ được tô màu đỏ. Theo điều giả sử, ta có $k+1$

cũng được tô màu đỏ. Tương tự $a+2,a+3,...$ được tô màu đỏ.

Do đó, màu xanh được tô hữu hạn lần (điều này vô lý)

Vậy tồn tại ít nhất cặp số $a$ đỏ. $a+1$ xanh. Giả sử tồn tại hữu hạn cặp $a$ đỏ, $a+1$ xanh.

Gọi tập hợp các cặp đó là tập $S=\begin{Bmatrix}
(a;a+1)
\end{Bmatrix}$ và $(n,n+1) \in S$ có $a$ lớn nhất.

Do màu đỏ được tô vô hạn nên tồn tại $m>n$ được tô màu đỏ.

Suy ra $m+1,m+2,...$ được tô màu đỏ (điều này vô lý)

Vậy tồn tại vô số cặp $a$ đỏ, $a+1$ xanh. Tương tự ta có vô số cặp $a$ xanh, $a+1$ đỏ

Gọi $(a_{i},b_{i})$ là các cặp (đỏ, xanh) với $b_{i}=a_{i}+1$ và $i=\overline{1,2015}$, $i$ lẻ

Gọi $(b_{i},a_{i})$ là các cặp (xanh, đỏ) với $a_{i}=b_{i}+1$ và $i=\overline{1,2016}$, $i$ chẵn.

Suy ra $\sum_{i=1}^{2016}a_{i}=\sum_{i=1}^{2016}b_{i}=k$. Vậy $k$ được tô màu xanh và đỏ (vô lý)