Bài toán. Cho đa thức $P\left ( x \right )\in \mathbb{R}\left [ x \right ]$ có bậc dương thỏa $P(x)$ không có nghiệm bội và
$$P(x).P(y)\leq P^{2}\left ( \frac{x+y}{2} \right ),\;x,y\in \mathbb{R}\;\;(1)$$Chứng minh rằng $P(x)$ có đúng một nghiệm thực.
Lời giải.
Nếu $degP(x)=2k$. Trong $(1)$ thay $y$ bởi $-x$ ta được
$$P(x).P(-x)\leq P^{2}(0)\;(*)$$ Cho $x\rightarrow +\infty $ thì $P(x).P(-x)\rightarrow +\infty $. Điều này mâu thuẫn với $(*)$.
Do đó bậc của $P(x)$ là số lẻ. Suy ra $P(x)$ có ít nhất một nghiệm thực.
Giả sử $P(x)$ có ít nhất hai nghiệm thực, gọi $x_{1}<x_{2}$ là hai nghiệm lớn nhất của $P(x)$
Không mất tính tổng quát giả sử hệ số bậc cao nhất dương. Khi đó $$\exists a>0:x_{2}-a< x_{1}\wedge P(x_{2}-a)> 0\rightarrow P(x_{2}-a).P(x_{2}+a)> 0\;\;(2)$$ Trong $(1)$ thay $x$ bởi $x_{2}-a$ và $y$ bởi $x_{2}+a$ ta được $$ P(x_{2}-a).P(x_{2}+a)\leq P^{2}\left ( x_{2} \right )=0\;\;(3)$$Từ $(2)(3)$ suy ra mâu thuẫn. Vậy $P(x)$ có đúng một nghiệm thực.
Hiển thị các bài đăng có nhãn Đa thức. Hiển thị tất cả bài đăng
Hiển thị các bài đăng có nhãn Đa thức. Hiển thị tất cả bài đăng
Thứ Ba, 30 tháng 12, 2014
Chủ Nhật, 2 tháng 11, 2014
Bài đa thức Vietnamese Mathematical Olympiad 2006
Bài toán. (VMO 2006)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực, thỏa mãn $$P(x^{2})+x\begin{bmatrix}
3P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}=\left ( P(x) \right )^{2}+2x^{2},\;\forall x\in R\;\;(1)$$Lời giải.
Bổ đề. Cho đa thức $Q(x)$ với hệ số thực thỏa $$Q(x^{2})=Q^{2}(x),\,\forall x\in R$$ Khi đó $Q(x)=0$ hoặc $Q(x)=1$ hoặc $Q(x)=x^{n}$
Chứng minh.
Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $Q(x)\equiv 0$ hoặc $Q(x)\equiv 1$
Nếu $P(x)$ khác hằng. Đặt $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$
Xét hệ số bậc $2n$ ta được $a_{n}^{2}=a_{n}\Rightarrow a_{n}=1$
Xét hệ số bậc $2n-1$ ta được $$2a_{n}a_{n-1}=0\Rightarrow a_{n-1}=0\Rightarrow Q(x)=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+..+a_{1}x+a_{0}$$ Tương tự ta có $a_{n-2}=a_{n-3}=...=a_{0}=0\Rightarrow Q(x)=x^{n}$
Vậy $Q(x)\equiv 0$ hoặc $Q(x)\equiv 1$ hoặc $Q(x)=x^{n}$
Trở lại bài toán.
Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-x$ ta được $$P(x^{2})-x\begin{bmatrix}
3P(-x)+P(x)
\end{bmatrix}=\left ( P(-x) \right )^{2}+2x^{2}\;\;(2)$$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$4x\begin{bmatrix}
P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}=\left ( P(x) \right )^{2}-\left ( P(-x)\right )^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix}
P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
P(x)-P(-x)-4x
\end{bmatrix}=0$$ Do $P(x)$ là đa thức nên $P(x)+P(-x)=0$ với $\forall x$ hoặc $P(x)-P(-x)-4x=0$ với $\forall x$
Trường hợp 1. Nếu $P(x)+P(-x)=0\Rightarrow P(-x)=-P(x)$. Thế vào $(1)$ ta được $$P(x^{2})+2xP(x)=\left ( P(x) \right )^{2}+2x^{2}\Rightarrow P(x^{2})-x^{2}=\left ( P(x)-x \right )^{2}$$ Đặt $Q(x)=P(x)-x$. Khi đó $Q(x^{2})=Q^{2}(x)$. Áp dụng bổ đề suy ra
$P(x)=x$ hoặc $P(x)=x+1$ hoặc $P(x)=x^{n}+x$.
Thử lại ta nhận $P(x)=x$ hoặc $P(x)=x^{2k+1}+x$
Trường hợp 2. Nếu $P(x)-P(-x)-4x=0\Rightarrow P(-x)=P(x)-4x$. Khi đó $$P(x^{2})+4x\begin{bmatrix}
P(x)-x
\end{bmatrix}=P^{2}(x)+2x^{2}\Rightarrow P(x^{2})-2x^{2}=\begin{bmatrix}
P(x)-2x
\end{bmatrix}^{2} $$ Đặt $Q(x)=P(x)-2x$. Khi đó $Q(x^{2})=Q^{2}(x)$. Áp dụng bổ đề ta được
$P(x)=2x$ hoặc $P(x)=2x+1$ hoặc $P(x)=x^{n}+2x$.
Thử lại ta nhận $P(x)=2x$ hoặc $P(x)=x^{2k}+2x$
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực, thỏa mãn $$P(x^{2})+x\begin{bmatrix}
3P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}=\left ( P(x) \right )^{2}+2x^{2},\;\forall x\in R\;\;(1)$$Lời giải.
Bổ đề. Cho đa thức $Q(x)$ với hệ số thực thỏa $$Q(x^{2})=Q^{2}(x),\,\forall x\in R$$ Khi đó $Q(x)=0$ hoặc $Q(x)=1$ hoặc $Q(x)=x^{n}$
Chứng minh.
Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $Q(x)\equiv 0$ hoặc $Q(x)\equiv 1$
Nếu $P(x)$ khác hằng. Đặt $Q(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$
Xét hệ số bậc $2n$ ta được $a_{n}^{2}=a_{n}\Rightarrow a_{n}=1$
Xét hệ số bậc $2n-1$ ta được $$2a_{n}a_{n-1}=0\Rightarrow a_{n-1}=0\Rightarrow Q(x)=x^{n}+a_{n-2}x^{n-2}+..+a_{1}x+a_{0}$$ Tương tự ta có $a_{n-2}=a_{n-3}=...=a_{0}=0\Rightarrow Q(x)=x^{n}$
Vậy $Q(x)\equiv 0$ hoặc $Q(x)\equiv 1$ hoặc $Q(x)=x^{n}$
Trở lại bài toán.
Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-x$ ta được $$P(x^{2})-x\begin{bmatrix}
3P(-x)+P(x)
\end{bmatrix}=\left ( P(-x) \right )^{2}+2x^{2}\;\;(2)$$ Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $$4x\begin{bmatrix}
P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}=\left ( P(x) \right )^{2}-\left ( P(-x)\right )^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix}
P(x)+P(-x)
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
P(x)-P(-x)-4x
\end{bmatrix}=0$$ Do $P(x)$ là đa thức nên $P(x)+P(-x)=0$ với $\forall x$ hoặc $P(x)-P(-x)-4x=0$ với $\forall x$
Trường hợp 1. Nếu $P(x)+P(-x)=0\Rightarrow P(-x)=-P(x)$. Thế vào $(1)$ ta được $$P(x^{2})+2xP(x)=\left ( P(x) \right )^{2}+2x^{2}\Rightarrow P(x^{2})-x^{2}=\left ( P(x)-x \right )^{2}$$ Đặt $Q(x)=P(x)-x$. Khi đó $Q(x^{2})=Q^{2}(x)$. Áp dụng bổ đề suy ra
$P(x)=x$ hoặc $P(x)=x+1$ hoặc $P(x)=x^{n}+x$.
Thử lại ta nhận $P(x)=x$ hoặc $P(x)=x^{2k+1}+x$
Trường hợp 2. Nếu $P(x)-P(-x)-4x=0\Rightarrow P(-x)=P(x)-4x$. Khi đó $$P(x^{2})+4x\begin{bmatrix}
P(x)-x
\end{bmatrix}=P^{2}(x)+2x^{2}\Rightarrow P(x^{2})-2x^{2}=\begin{bmatrix}
P(x)-2x
\end{bmatrix}^{2} $$ Đặt $Q(x)=P(x)-2x$. Khi đó $Q(x^{2})=Q^{2}(x)$. Áp dụng bổ đề ta được
$P(x)=2x$ hoặc $P(x)=2x+1$ hoặc $P(x)=x^{n}+2x$.
Thử lại ta nhận $P(x)=2x$ hoặc $P(x)=x^{2k}+2x$
Thứ Tư, 24 tháng 9, 2014
Bài đa thức chọn đội tuyển VMO Đăk Lăk 2014
Bài toán. (Chọn đội tuyển VMO Đăk Lăk 2014)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $$P(x+1)=P(x)+3x^{2}+3x+1,\, \forall x\in R$$
Lời giải.
Theo giả thiết đề bài ta đuợc $$P(x+1)-(x+1)^{3}=P(x)-x^{3},\, \forall x\in R$$
Đặt $Q(x)=P(x)-x^{3}$. Ta suy ra được $$Q(x+1)=Q(x),\, \forall x\in R$$$$\Rightarrow Q(x)=c,\,c=const$$
Do đó $P(x)=x^{3}+c,\forall x\in R,\,(c=const)$
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn $$P(x+1)=P(x)+3x^{2}+3x+1,\, \forall x\in R$$
Lời giải.
Theo giả thiết đề bài ta đuợc $$P(x+1)-(x+1)^{3}=P(x)-x^{3},\, \forall x\in R$$
Đặt $Q(x)=P(x)-x^{3}$. Ta suy ra được $$Q(x+1)=Q(x),\, \forall x\in R$$$$\Rightarrow Q(x)=c,\,c=const$$
Do đó $P(x)=x^{3}+c,\forall x\in R,\,(c=const)$
Thứ Hai, 22 tháng 9, 2014
Bài đa thức thi Olympic Chuyên KHTN 2014
Bài toán. (Olympic Chuyên KHTN 2014)
Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho $$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6\;(1)$$
Lời giải.
Gọi $a_{n}$ là hệ số bậc cao nhất và $n=deg\; P(x)$
Xét hệ số bậc $n+1$ của hai vế ta được
$$a_{n}.3^{n}=a_{n}.3^{2015}\Rightarrow n=2015$$
Trong $(1)$ thay $x$ bởi $0$ ta được
$$(-2).P(2)=6\Rightarrow P(2)=-3$$
Trong $(1)$ thay $x$ bởi $-1$ ta được $$(-3).P(-1)=-3^{2015}.P(-1)-3^{2016}+3+6\Rightarrow P(-1)=-3$$
Từ đây suy ra $$P(x)=(x-2)(x-1).Q_{1}(x)-3$$
Thế vào $(1)$ ta được $$Q_{1}(3x+2)=3^{2015}.Q_{1}(x)\; (2)$$
Trong $(2)$ thay $x$ bởi $-1$ ta được $$Q_{1}(-1)=0\Rightarrow Q_{1}(x)=(x+1).Q_{2}(x)\Rightarrow P(x)=(x-2)(x+1)^{2}.Q_{2}(x)-3$$
Tiếp tục như vậy và do $n=deg\; P(x)=2015$ nên $$P(x)=c(x-2)(x+1)^{2014}-3,\; \forall x\in R,\; c=const$$
Đăng ký:
Bài đăng (Atom)