Cho hai đường tròn $\left ( \omega _{1} \right )$ tâm $O_{1}$ và $\left ( \omega _{2} \right )$ tâm $O_{2}$ cắt nhau tại $A,B$. Các tiếp tuyến tại $A$ và
$B$ của $\left ( \omega _{1} \right )$ cắt nhau ở $K$. Giả sử $M$ là điểm nằm trên $\left ( \omega _{1} \right )$ nhưng không trùng $A$ và $B$.
Đường thẳng $AM$ cắt $\left ( \omega _{2} \right )$ tại $P$, đường thẳng $KM$ cắt $\left ( \omega _{1} \right )$ tại $C$ và $AC$ cắt $\left ( \omega _{1} \right )$ tại $Q$
1) Chứng minh rằng trung điểm $PQ$ thộc đường thẳng $MC$
2) Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn qua điểm cố định khi $M$ di chuyển trên $\left ( \omega _{1} \right )$
Lời giải.
Câu 1. Gọi $E$ là giao điểm $HP$ và $MK$. Ta có $$\widehat{BCQ}=\widehat{BMP},\;\widehat{BQC}=\widehat{MPB}\rightarrow \bigtriangleup CBQ\sim \bigtriangleup MBP\rightarrow \frac{CB}{MB}=\frac{CQ}{MP}$$Lại có tứ giác $MACB$ điều hòa nên $\frac{CB}{MB}=\frac{CA}{MA}$. Suy ra $$\frac{CQ}{MP}=\frac{CA}{MA}\rightarrow \frac{CA}{CQ}.\frac{MP}{MA}=1$$ Theo định lý Menelaus cho $\bigtriangleup APQ$ và $\overline{H,C,M}$ ta được $$\frac{MP}{MA}.\frac{CA}{CQ}.\frac{HQ}{HP}=1\rightarrow HP=HQ$$ Vậy $MC$ đi qua trung điểm $PQ$
Câu 2. Gọi $H=AK\cap \left ( \omega _{2} \right )$ và $D$ là giao điểm hai tiếp tuyến tại $B,H$ của $\left ( \omega _{2} \right )$ . Ta có $$\widehat{QBP}=\widehat{QAP}=\widehat{MBC},\;\widehat{BPQ}=\widehat{BAQ}=\widehat{BMC}\rightarrow \bigtriangleup BQP\sim \bigtriangleup BCM\rightarrow \frac{BQ}{BP}=\frac{BC}{BM}\;\;(1)$$ Lại có: $$\widehat{HPQ}=\widehat{QAH}=\widehat{AMC},\;\widehat{QHP}=\widehat{MAC}\rightarrow \bigtriangleup HPQ\sim \bigtriangleup AMC\rightarrow \frac{QH}{PH}=\frac{AC}{AM}\;\;(2)$$Từ $(1),(2)$ và tứ giác $AMBC$ điều hòa nên tứ giác $BPQH$ điều hòa
Vậy $PQ$ đi qua $D$ cố định.
